Teoria prawdopodobieństwa i modelowanie stochastyczne

Prof. Bartłomiej Błaszczyszyn wizytuje nasz instytut w ramach programu "profesorów wizytujących" IDUB. Hyperuniformity characterizes random spatial structures that exhibit slower growth in variance at large scales compared to Poisson structures emerging as a consequence of the complete independence assumption. Initially conceptualized in statistical physics by Torquato and Stillinger (2003), hyperuniform systems have garnered significant interest due to their unique position between perfect crystals, liquids, and glasses. These distinctive properties make them valuable for designing innovative materials, Monte Carlo numerical integration, and they have gained attention in various applied contexts, offering insights into phenomena ranging from DNA and the immune system to photoreceptors, urban systems, and cosmology. Detecting and quantifying hyperuniformity is crucial across these diverse domains. Despite this, statistical tests for hyperuniformity have only recently gained attention. In ongoing work with F. Lavancier and G. Mastrilli, we address the challenge of estimating the "strength" of hyperuniformity, related to the exponent of the spectrum at zero wavelength, in a class of stationary point processes in Euclidean. The mathematical core concept is that the variance of linear statistics, which are based on smooth and rapidly decreasing functions, grows in a way that explicitly involves this exponent. By leveraging the multivariate central limit theorem for many of these statistics, which involve orthogonal functions at different scales (wavelets), one obtains an asymptotically consistent estimator of the "strength" of hyperuniformity, based on a single realization of the point process, with explicit confidence intervals. We investigate this approach through numerical simulations using point process models and a real dataset.

In this talk I am going to discuss the behaviour of walks constrained to some parts of the space. I will concentrate on two rather simple examples which however show the depth of the corresponding area of mathematics. I will begin with the classical Ballot problem, which can be seen as a walk conditioned to stay positive. I will then turn to a model for gambler's ruin problem with many players.

Zbadamy dokładną asymptotykę rozkładu supremum pewnej klasy pól gaussowskich, które posiadają lokalnnie nie-addytywną strukturę zależności. Uzyskane wyniki zilustrujemy zastosowaniem do badania wartości własnych gaussowskich macierzy unitarnych. Wykład oparty jest na wspólnej pracy z Pengiem Liu (Univ. of Essex) i Longiem Bai (Univ of Nankai).

The Greenwood statistic Tn and its functions, including sample coefficient of variation, often arise in testing exponentiality or detecting clustering or heterogeneity. We provide a general result describing stochastic behavior of Tn in response to stochastic behavior of the sample data. Our result provides a rigorous base for constructing tests and assuring that confidence regions are actually intervals for the tail parameter of many power-tail distributions. We also present a result explaining the connection between clustering and heaviness of tail for several classes of distributions and its extension to general heavy tailed families. Our results provide theoretical justification for Tn being an effective and commonly used statistic discriminating between regularity/uniformity and clustering in presence of heavy tails in applied sciences. We also note that the use of Greenwood statistic as a measure of heterogeneity or clustering is limited to data with large outliers, as opposed to those close to zero.

We will survey various methods for simulation of uniformly distributed points on geometrical objects. In particular we consider d-dimensional balls, d-1-dimensional spheres. Interesting and not obvious problems appear when simulating random points on ellipses or ellipsoids. We conclude with a "numerical methods" for generating random points on parametrized objects like hyper-ellipsoids.

Dla odbitego (w 0) procesu gaussowskiego o stacjonarnych przyrostach, badamy asymptotyki ogona rozkładu supremum i infimum, gdy czas jest dyskretny. Referat oparty jest na wspólnej pracy z Grigorijem Jasnovidovem (University of Lausanne).

Wystąpienie będzie składało się z dwóch części.

Część 1. Będzie to przegląd wyników dotyczących: i) dualności Siegmunda, która pozwala badać prawd. ruiny w modelach typu "zagadnienie ruiny gracza"; ii) tzw. strong stationary duality (SSD), która pozwala badać prędkość zbieżności do stacjonarności; iii) "Intertwining" -- pozwala na studiowanie czasu do pochłonięcia. Podamy idee konstrukcji takich łańcuchów dualnych w przypadku częściowo uporządkowanej przestrzeni stanów. Podamy np. wzory na prawdopodobieństwo wygrania w pewnych wielowymiarowych modelach, nowe wzory na wartość oczekiwaną czasu do pochłonięcia (oraz tzw. warunkowego czasu do pochłonięcia) w jednowymiarowych modelach. Wszystkie trzy dualności będą użyte do podania tzw. optymalnego czasu do stacjonarności dla symetrycznego błądzenie po okręgu -- co jest poprawieniem wyniku Diaconisa i Filla.

Część 2. Pokażemy jak można wykorzystać dualność Siegmunda i SSD do podania wzorów na prawdopodobieństwa przejścia między stanami w dokładnie $n$ krokach. Metodę zastosujemy do błądzenia po hiperkostce. Krótko opowiemy o jednym ze "skutków ubocznych", jakim jest pewna tożsamość algebraiczna, z której m.in. wynika nowy dowód na inną znaną tożsamość, a także nowa postać liczb Stirlinga drugiego rodzaju.

Zanalizujemy dokładną asymptotykę prawdopodobieństwa jednoczesnej ruiny skorelowanych procesów ryzyka modelowanych przez procesy gaussowskie o stacjonarnych przyrostach z liniowym dryfem. Przedstawione wyniki są owocem wspólnej pracy z Krzysztofem Bisewskim (Univ. of Lausanne) oraz Nikolaiem Kriukovem (Univ. of Lausanne).

We will consider optimal dividend problem for a company, whose underlying process is modeled by the spectrally negative Lévy process. We will assume that after each payment there will be a transaction cost implied and as a result cumulative dividend process will be a pure jump process. Therefore, instead of the traditional barrier or refracted payment strategy, we will consider so-called impulse strategy. In addition, when the controlled risk process will be below zero there will be an additional drift imposed to save the process from falling into a Parisian-type ruin. This will imply that the controlled risk process will be driven by the refracted-type SDE. Our aim will be to concentrate on proving the optimality of the impulse strategy with the use of standard steps of the Verification Lemma. We will show how and when natural assumptions arise and how they are connected with the scale functions. The talk is based on the joint work with Irmina Czarna.

I am going to talk about a Markov process arising when circle rotations are applied randomly. The central limit theorem for additive functionals of this random walk will be discussed. It depends on two factors: Diophantine properties of the angle of rotation and the regularity of an observable.

We will investigate the convergence of a branching random walk from the viewpoint of random measures. We will show that the case of stretched exponential (Weibull) displacements provides a continuous transition between the domain of one big jump and its complement. The talk is based on a joint work with Nina Gantert (TUM).

The aim of this dissertation is to study a particular finite-time risk model for the ruin probability of two insurance companies that partially share the same risk. The model assumes that the company’s cash flows are modelled by a random and a deterministic part. The accumulated claims are modelled by the Brownian motion and the deterministic premiums are modelled by the linear drift. The connection between the two companies is modeled through a constant correlation. In the first part the company is considered to be ruined if the cash flows of the company at any point in the given interval overcome the initial capital of the company. The thesis investigates the probability of both companies being ruined as their initial capitals are growing larger. In the subsequent parts we consider generalizations of the aforementioned notion of ruin. The new definition of ruin states that the ruin occurs only if the cash flows of the company are above the initial capital for a certain period of time, which is called time in red. We differentiate two cases – where we either count the time in red consecutively or cumulatively. The dissertation focuses on a particular length of the time that the cash flows spend above the initial capital, which is connected to the height of initial capital through a simple function. We prove that for that particular function we obtain results that are of the same order as the results from the first part. In the final chapter the thesis considers much more general cases of the time in red for the case of positively correlated companies.

I intend to provide an elementary introduction into an infinite balls-in-boxes scheme a.k.a. Karlin's occupancy scheme. Also, two generalizations of the scheme will be discussed. The core of the talk will be devoted to weak convergence of the number of occupied boxes. After presenting Dutko's (1989) criterion for the one-dimensional convergence I shall turn to more recent advances concerning weak convergence of finite-dimensional distributions. The talk should be accessible to a wide audience with some knowledge of basic Probability Theory.

Zanallizujemy dokładną asymptotykę ogona rozkładu supremum dla klasy pól gaussowskich z niestandardową strukturą zależności. Wyniki zostaną zilustrowane dwoma przykładami: - asymptotycznymi własnościami "performance table" i związanymi z nią zagadnieniami własności wartości własnych macierzy GUE; - asymptotykami procesów "chi". Wystąpienie oparte jest na wspólnej pracy z L. Bai (Nankai Univ.) and P.Liu (Univ. of Essex).

This talk is focused on the generalization of Korshunov inequality, which is helpful in simplifying the proof of double sum negligibility in ruin problems. It provides a non-asymptotic upper bound for the classical ruin probability of Brownian motion, which turns out to be asymptotically precise. The presenting results extend this inequality for the case of hitting some specific set and non-centered processes. In particular, we discuss applications to k-th simultaneous ruin probabilities.

Dokonamy asymptotycznej analizy czasu przebywania pola losowego powyżej wysokiej bariery. Przy dość ogólnych założeniach pokażemy, że istnieje interesujący związek między asymptotykami ogona czasu przebywania powyżej bariery i supremum. Ogólną teorię zilustrujemy przykładami. Wystąpienie oparte jest na wspólnej pracy z E. Hashorvą, P. Liu oraz Z. Michną.

We study the asymptotics of the $k$-regular self-similar fragmentation process. For $\alpha \geq 0$ and an integer $k\geq 2$, this is the Markov process $(I_t)_{t\geq 0}$ in which each $I_t$ is a union of open subsets of $[0,1)$, and independently each subinterval of $I_t$ of size $u$ breaks into $k$ equally sized pieces at rate $u^\alpha$. Let $k^{-m_t}$ and $k^{-M_t}$ be the respective sizes of the largest and smallest fragments in $I_t$. By relating $(I_t)_{\geq 0}$ to a branching random walk, we find that there exist explicit deterministic functions $g(t)$ and $h(t)$ such that $|m_t-g(t)|\leq 1$ and $|M_t-h(t)|\leq 1$ for all sufficiently large $t$. The talk is based on a joint work with Nina Gantert, Samuel G. G. Johnston, Joscha Prochno and Dominik Schmid.

Podczas wykładu opowiem o gałązkowym spacerze losowym i przedstawię podstawowe własności dotyczące zachowania jego maksimum. W opisie tego procesu kluczową rolę odgrywa tzw. martyngał pochodny. Opowiem o nowych wynikach otrzymanych wspólnie z Aleksandrem Iksanovem (Kijów) oraz Bastienem Mallein (Paryż).

We consider the distributional fixed-point equation: \[R \stackrel{\mathcal{D}}{=} Q \vee \left( \bigvee_{i=1}^N C_i R_i \right), \] where the $\{R_i\}$ are i.i.d.~copies of $R$, independent of the vector $(Q, N, \{C_i\})$, where $N \in \mathbb{N}$, $Q, \{C_i\} \geq 0$ and $P(Q > 0) >0$. By setting $W = \log R$, $X_i = \log C_i$, $Y = \log Q$ it is equivalent to the high-order Lindley equation \[W \stackrel{\mathcal{D}}{=} \max\left\{ Y, \, \max_{1 \leq i \leq N} (X_i + W_i) \right\}.\] It is known that under Kesten assumptions, \[P(W > t) \sim H e^{-\alpha t}, \qquad t \to \infty,\] where $\alpha>0$ solves the Cram\'er-Lundberg equation $E \left[ \sum_{j=1}^N C_i ^\alpha \right] = E\left[ \sum_{i=1}^N e^{\alpha X_i} \right] = 1$. The main goal of this paper is to provide an explicit representation for $P(W > t)$, which can be directly connected to the underlying weighted branching process where $W$ is constructed and that can be used to construct unbiased and strongly efficient estimators for all $t$. Furthermore, we show how this new representation can be directly analyzed using Alsmeyer's Markov renewal theorem, yielding an alternative representation for the constant $H$. We provide numerical examples illustrating the use of this new algorithm. This is a joint work with Bojan Basrak, Michael Conroy and Mariana Olvera-Cravioto.

Dla gałązkowego spaceru losowego $\{S(u)\}_{u \in \mathbb T} $ o przyrostach dodatnich oraz funkcji $\phi:[0,\infty) \mapsto \mathbb R$ definiujemy proces Crumpa-Mode’a-Jagersa $Z^\phi_t$ wzorem: $$Z^\phi_t:=\sum_{u\in\mathbb T}\phi(t-S(u)).$$ W swojej pracy O. Nerman (1981) udowodnił, że przy pewnych naturalnych założeniach istnieje parametr $\alpha>0$, taki że $$e^{-\alpha t} Z^\phi_t \stackrel{t\to\infty}{\longrightarrow} \int \phi(s)e^{-\alpha s}ds \cdot W\quad \text{p.n.}$$ dla pewnej zmiennej losowej $W$. Podczas wykładu zaprezentuję twierdzenia graniczne dla procesu $Z^\phi_t$. Przedstawione wyniki oparte są na wspólnej pracy z Matthiasem Meinersem oraz Aleksandrem Iksanovem.

Podczas wykładu opowiem o procesach losowych w losowym środowisku. Jest to proces gałązkowy, w którym cząsteczki reprodukują się niezależnie od pozostałych względem rozkładu losowanego co jedną generację. Będę rozważać proces w sytuacji superkrytycznej, a więc, gdy populacja przeżyje z dodatnim prawdopodobieństwem i rośnie wykładniczo szybko na zbiorze przeżycia. W niedawnej pracy z Ewą Damek wprowadziliśmy metody, które pozwalają na użycie technik fourierowskich do badania tych procesów. Dzięki nim można udowodnić szereg twierdzeń granicznych.

The talk concerns the limit behavior of the volume of a stable sausage defined via a $d$-dimensional rotationally invariant $\alpha$-stable process. I will present a functional central limit theorem (in the case when $d/\alpha>3 /2$) with a standard one-dimensional Brownian motion in the limit and Khintchine's and Chung’s laws of the iterated logarithm (in the case when $d/\alpha>9 /5$). This is a joint work with N. Sandrić and S. Šebek (Uni. Zagreb).

Test Kolmogorova-Smirnowa jest jednym z najbardziej popularnych testów sprawdzających, czy dane losowe $X_1,\ldots,X_n$ są niezależne i pochodzą z tego samego, danego teoretycznego rozkładu $F()$. Test KS bazuje na twierdzeniu, że odpowiednio zeskalowane supremum absolutnej różnicy dystrybuanty empirycznej $F_n()$ i teoretycznej $F()$, t.j. $D_n := \sup_t |F_n(t)-F(t)|$ zbiega do rozkładu KS, który jest niezależny od wyjściowej dystrybuanty $F()$. Od strony informatycznej, dystrybuantę empiriczną danego rozkładu można zintepretować jako całkowicie posortowany wektor wejściowych danych losowych. Okazuje się, że nawet częściowe sortowanie wystarczy, aby skonstruować test podobny do KS, którego statystyka również asymptotycznie nie będzie zależeć od F(). Podczas seminarium pokażę, w jaki sposób można skonstruować odpowiedni test korzystając z algorytmu sortowania bąbelkowego i zbadam asymptotyczne zachowanie tego testu. Wspólna praca z Marijn Jansen, TU Delft oraz Yoni Nazarathy, University of Queensland.

Badamy asymptotyczne zachowanie empirycznych miar spektralnych pewnych klas macierzy losowych, gdy rozmiar macierzy dąży do nieskończoności. W szczególności dowodzimy dla macierzy z łącznie niezależnymi kolumnami, że empiryczne miary wartości osobliwych zbiegają słabo według prawdopodobieństwa do rozkładów związanych z rozkładem Marczenki-Pastura i rozkładem Wignera. Uzyskujemy to bez założenia stałości macierzy kowariancji kolumn. Wykład jest oparty na wspólnej pracy z Alicją Dembczak-Kołodziejczyk.

Let $(W_1(s), W_2(t)), s,t\ge 0$ be a bivariate Brownian motion with standard Brownian motion marginals and constant correlation $\rho \in (-1,1)$ and define the joint survival probability of both supremum functionals $\pi_\rho(c_1,c_2; u, v)$ by $$\pi_\rho(c_1,c_2; u, v)=\mathbb{P}(\sup_{s \in [0,1]} \left(W_1(s)-c_1s\right)>u,\sup_{t \in [0,1]} \left(W_2(t)-c_2t\right)>v) ,$$ where $c_1,c_2 \in \mathbb{R}$ and $u,v$ are given positive constants. Approximation of $\pi_\rho(c_1,c_2; u, v) $ is of interest for the analysis of ruin probability in bivariate Brownian risk model as well as in the study of bivariate test statistics. We derive tight bounds for $\pi_\rho(c_1,c_2; u, v)$ in the case $\rho \in (0,1)$ and obtain precise approximations by letting $u\to \infty$ and taking $v= au$ for some fixed positive constant $a$ and $\rho \in (-1,1).$

We will consider a branching process with a spacial component on the real line. After birth each individual performs an independent step according to the step size distribution. During the talk the step size distribution will be a stretched exponential (or Weibull) law. We will give a detailed description of the asymptotic behaviour of the position of the rightmost particle. If time permits we will discuss the convergence of an associated point process. The talk is based on a ongoing project with Nina Gantert and Thomas Höfelsauer.

In this paper, we first show that for a countable family of random elements taking values in a partially ordered Polish space with a closed partial order (POP space), association (both positive and negative) of all finite dimensional marginals impliesthat of the infinite sequence. Our proof proceeds via Strassen’s theorem for stochastic domination and thus avoids the assumption of normally ordered on the product space as needed for positive association in [38]. We use these results to show on POP spaces that finite dimensional negative association implies negative association of the random measure and negative association is preserved under weak convergence of random measures. The former provides a simpler proof in the most general setting of Polish spaces complementing the recent proofs in [47] and [40] which restrict to point processes inRdand locally compact Polish spaces respectively. We also provide some examples of associated random measures which shall illustrate our results as well. Work joint with G. Last and D. Yogeshwaran

It is known that backward iterations of independent copies of a contractive random Lipschitz function converge almost surely under mild assumptions. By a sieving (or thinning) procedure based on adding to the functions time and space components, it is possible to construct a scale invariant stochastic process. We study its distribution and paths properties. In particular, we show that it is c\`adl\`ag and has finite total variation. We also provide examples and analyse various properties of particular sieved iterative function systems including perpetuities and infinite Bernoulli convolutions, iterations of maximum, and random continued fractions. Based on joint work with Alexander Marynych.

Dla procesu ryzyka modelowanego przez skorelowany 2-wymiarowy ruch Browna z dryfem zanalizujemy asymptotykę ogona rozkładu prawdopodobieństwa ruiny w nieskończonym horyzoncie czasu. Omówione wyniki oparte są na wspólnej pracy z Lanpengiem Ji (Leeds) oraz Tomaszem Rolskim.

Rozpatrujemy supremum procesu Lévy'ego na odcinku [0,1], dokładniej, chcemy znaleźć prawdopodobieństwo $w(u)$, że supremum przekroczy dany poziom $u$. Wzór na $w(u)$ nie jest w ogólności znany i przybliżamy go używając $w_n(u)$ - które jest odpowiednikiem pradopodobieństwa przekroczenia poziomu $u$ dla procesu zdyskretyzowanego, t.j. obserwowanego w $n$ równo-odłegłych punktach. Wzór na $w_n(u)$ również nie jest znany, ale może być przybliżony do dowolnej dokładości za pomocą metod Monte Carlo. Przy łagodnych założeniach, pokażemy dokładną asymptotykę błedu detekcji, t.j. $|w(u)-w_n(u)|$, gdy $n$ dąży do nieskończoności. Jest to wspólna praca z Jevgenijs Ivanovs (Aarhus University).

Bazując na odczycie L. Wanga w IM UWr z 18 IV 2019 próbuję zweryfikować pewną własność klastrów w perkolacji Bernoulliego na grupach hiperbolicznych związanych z przestrzenią hiperboliczną H³ (np. Coxeterowskich grupach odbiciowych ograniczonego wielościanu w H³). Brzeg Gromowa takiej grupy (czyli przestrzeń ,,punktów w nieskończoności'') jest homeomorfioczny ze sferą S². Pytanie jest następujące: czy brzeg klastra jest p.n. zerowymiarowym podzbiorem S², gdy prawdopodobieństwo otwierania krawędzi w perkolacji jest większe od prawdopodobieństwa krytycznego, ale mu bliskie? Staram się tego dowieść, dominując stochastycznie klaster perkolacji przez trajektorię rozgałęziającego się spaceru losowego takiego jak u Wanga i rozważając wymiar Hausdorffa brzegu klastra.

A) Making a function for calculating password slow is often not enough. Such a function can be evaluated several dozen times faster on GPUs than on CPUs and even several thousand times faster on ASICs (application-specific integrated circuit). A "good" function (memory-hard) should consume lots of memory (GPUs and ASICs would not help then). We introduce RiffleScrambler -- a new family of directed acyclic graphs and a corresponding memory hard function. We prove its memory hardness in the random oracle model. B) We show how to efficiently use SVN (subversion system) -- a software versioning and revision control system (installed on hera) and Mendeley (Reference Manager) in daily work with LaTeX. In particular, we show how one can allow multiple users access our SVN repository on hera.

Let $\Gamma$ be a nonelementary hyperbolic group equipped with a word metric. Consider a branching random walk (BRW) on $\Gamma$ with mean offspring $\lambda < \infty$ and let $\rho$ be the spectral radius of the base motion. It is known that, if and only if $\lambda > \rho^{-1}$, the BRW is recurrent in the sense that every point is visited infinitely often by the particles in BRW. In this talk, we focus on the transient regime $\lambda \in [1,\, \rho^{-1}]$ and study the critical behavior for the volume growth rate and the Hausdorff dimension of the limit set of BRW. More precisely, we prove that both of them exhibit phase transitions at $\lambda = \rho^{-1}$ and have critical exponent $1/2$. The talk is based on a joint work with Z. Shi, V. Sidoravicius and K. Xiang.

Chaosem gaussowskim nazwiemy zmienna losową S będącą wielomianem jednorodnym od wektora gaussowskiego. Zakładamy, że współczynniki wielomianu pochodzą z ustalonej przestrzeni Banacha. Okazuje się, że możemy podać dwustronne oszacowania na p-ty moment zmiennej S w pewnej klasie przestrzeni Banacha (zawierającej przestrzenie L_q). Omówimy niektóre zastosowania otrzymanych oszacowań, w szczególności pokażemy nierówność typu Hansona-Wrighta w przestrzeniach wektorowych. W celu uproszczenia notacji skupimy się na przypadku wielomianów, będących formami kwadratowymi.

Let $X_n(k)$ denote the number of vertices at level $k$ in a random recursive tree with $n+1$ vertices. I am going to discuss a functional limit theorem for the vector-valued process $(X_{[n^t]}(1),\ldots, X_{[n^t]}(k))_{t\geq 0}$ , for each $k\in\mathbb{N}$. It will be explained that, after proper centering and normalization, this process converges weakly to a vector-valued Gaussian process whose components are integrated Brownian motions. The other topic of my interest is the asymptotic behavior of $X_n(k)$ for intermediate levels $k=k_n$ satisfying $k_n\to\infty$ and $k_n=o(logn)$ as $n\to\infty$. It turns out that the finite-dimensional distributions of the process $(X_n ([k_n u]))u>0$, properly normalized and centered, converge weakly as $n\to\infty$. The limit is a centered Gaussian process with explicitly known covariance. Both results are deduced from new functional limit theorems for Crump-Mode-Jagers branching processes generated by increasing random walks with increments that have finite second moment. The talk is based on two recent papers joint with Zakhar Kabluchko.

Podczas tej prezentacji rozpatrzymy zagadnienie ruiny dla firmy ubezpieczeniowej. W klasycznym podejściu proces nadwyżki finansowej modelowany jest przy użyciu procesu Cramera-Lundberga z roszczeniami rozłożonymi wykładniczo. Przyjmuje się również definicje momentu ruiny jako pierwszej chwili, gdy proces nadwyżki przekroczy poziom zero. Niniejsze założenia doczekały się wielu uogólnień. W szczególności rozważano spektralnie ujemne procesy Levy'ego jako klasy procesów modelujących proces nadwyżki, jak i również przeformułowano definicję ruiny, rozróżniając techniczną ruinę od faktycznego momentu bankructwa. W tym wystąpieniu rozważać będziemy kolejne uogólnienia, badając przy tym wpływ podjętych założeń na prawdopodobieństwo ruiny, jak i na zagadnienia wyjścia procesu ze zbioru. W szczególności, przy założeniu paryskiego modelu ruiny, podamy nowe wzory na funkcje skalujące dla załamanego (ang. refracted) liniowego procesu Browna oraz załamanego procesu Cramera-Lundberga z wykładniczymi roszczeniami. Następnie pochylimy się nad modelem ruiny typu omega, pokazując między innymi, że prawdopodobieństwo ruiny tego typu jest liniową funkcją prawdopodobieństwa klasycznej ruiny przy modelowaniu procesem Cramera-Lundberga z wykładniczymi roszczeniami. Prezentacja ta opiera się w większości na pracach: 1) "Fluctuation identities for omega-killed Markov additive processes and dividend problem" I. Czarna, A. Kaszubowski, S. Li, Z. Palmowski (praca wysłana), 2) "Omega bankruptcy for different Levy models" A. Kaszubowski (praca wysłana) oraz 3) "Optimality of impulse control problem in refracted Levy model with Parisian ruin and transaction costs" I. Czarna, A. Kaszubowski (praca w przygotowaniu).

Podamy dwie równoważne definicje ujemnego stowarzyszenia dla procesów punktowych. Jako przykłady procesów punktowych ujemnie stowarzyszonych opiszemy procesy tzw. "determinantal" oraz procesy "mixed sampled". Przypomnimy związki procesów "determinantal" z procesami punktowymi Gibbsa i z rozkładem wartości własnych pewnych macierzy losowych. Przypomnimy własność "hyperuniformity" dla procesów punktowych ilustrując ją klasycznymi i nowymi przykładami.

Zanalizujemy problem prawdopodobieństwa równoczesnej ruiny w skończonym horyzoncie czasu w przypadku gdy odpowiednie procesy ryzyka modelowane są przez skorelowany ruch Browna. Dodatkowo zbadamy asymptotyczne własności czasu ruiny w rozważanym modelu. Zagadnienia te są podstawą wspólnej pracy z E. Hashorvą i Z. Michną.

We study two ways (levels) of finding free-probability analogue of classical infinite divisible measures. More precisely, we identify their Voiculescu transforms. For free - selfdecomposable Voiculescu transform we found the formula (a differential equation) for their background driving transforms. We illustrate our methods on the selfdecomposable hyperbolic characteristic functions. As a by-product our approach potentially may produce new formulas for definite integrals of some special functions. (cf. www.arXiv:1707.02540v1 [math.PR])

Problem optymalnego zatrzymania przez osobę decyzyjną (selekcjonera) w swoim podstawowym brzmieniu zakłada, że dysponuje on tylko własną wiedzą na temat przeszłości i podejmuje decyzję na podstawie aktualnej obserwacji. W rozpatrywanej wersji występuje dodatkowo drugi gracz, który zna jakość wszystkich obiektów i może raz w ciągu całego procesu wyboru interweniować w proces decyzyjny. Interwencja ta powoduje uzyskanie przez selekcjonera dodatkowej informacji, która może pomóc lub utrudnić proces wyboru. Naszym zadaniem jest ustalenie optymalnej ceny tej wskazówki. Podany zostanie dokładny opis problemu za pomocą łańcuchów Markowa. Pokażemy jak wygląda strategia optymalna oraz zbiór stanów, które maksymalizują wypłatę gracza interweniującego. Zostaną też zaprezentowane możliwe rozwinięcia tego modelu.

We derive exact asymptotics of sojourn time for a class of Gaussian risk processes and Gaussian stationary queues.

Dla łańcucha urodzin i śmierci na {1,...,N} rozkład czasu dojścia z 1 do N został podany przez Keilsona (1979). Dowód był czysto analityczny (podał on funkcję tworząca). W przypadku, gdy łańcuch ten jest stochastycznie monotoniczny czas ten jest równy (co do rozkładu) sumie N-1 zmiennych losowych geometrycznych z parametrami będącymi wartościami własnymi macierzy przejść. W takim przypadku Fill (2009) podał inny, probabilistyczny, dowód. Gong, Mao, Zhang w 2012 oraz Mao, Zhang w 2016 rozszerzyli ten wynik dla a) łańcucha startującego z dowolnego stanu; b) dla łańcucha, który ma dodatkowy stan pochłaniający. Podpunkt b) odpowiada klasycznemu zagadnieniu ruiny gracza (rozważa się wówczas często warunkowy czas trwania gry, czyli czas do wygrania lub czas do ruiny). Pokażemy uogólnienie tych wyników la rodziny wielowymiarowych uogólnień zagadanienia ruiny gracza. W wielu przypadkach dowody są również probabilistyczne. Będziemy także korzystali z własności produktu Kroneckera.

Do wysłuchania wystąpienia znajomość Części I. nie jest potrzebna.

P. Lorek, P. Markowski (2018) Absorption probability and time for family of multidimentional gambler models. (Wysłana)

The class $M(\rho)$ is the class of functions satisfying $\log U(x)= \log x \rightarrow \rho$ as $x \rightarrow 1$. This class of functions extends the class of regularly varying functions (which were introduced by Karamata). It can be proved that $U \in M(\rho)$ implies that $U$ is bounded by regularly varying functions with the same index $\rho$. We extend this class and define a new class of positive and measurable functions that are bounded by general regularly varying functions. We study integrals and Laplace transforms of these functions. We use the results to study the tail of convolutions of distribution functions. The results are extended to functions that are bounded by O-regularly varying functions.

The talk will be based on joint work with M. Cadena and M. Kratz.

A fractionally integrated inverse stable subordinator (FIISS) is the convolution of an inverse stable subordinator, also known as a Mittag-Leffler process, and a power function. I am going to discuss various path properties of FIISS including Hoelder continuity and laws of iterated logarithm. I will explain that the FIISS is a quite natural probabilistic object, for it arises as a functional weak limit for appropriate shot noise processes. The talk is based on a joint paper with Z. Kabluchko, A. Marynych, G. Shevchenko (SPA, V. 127 (2017), 80-106).

I will present the quickest drift change detection problem for a Lévy process consisting of both a continuous Gaussian part and a jump component. I will consider a Bayesian framework with an exponential a priori distribution of the change point and an optimality criterion based on a probability of false alarm and an expected delay of the detection. The approach is based on the optimal stopping theory and solving some boundary value problem. The talk will be supplemented by a numerical analysis related with the construction of the Generalized Shiryaev-Roberts statistics. In particular, I will show how to apply this method (after appropriate calibration) to analyse life tables and to model the force of mortality in population with a drift changing in time. The talk will be based on joint work with Z. Palmowski and Ł. Płociniczak.

In this talk, we will consider the exit problems for Markov additive process $(X,J)$ exponentially killed with the respect to the intensity $\omega_i(x)$, which is positive and bounded function for every $i \in E$, where $E$ is a finite state space of J. We assume that intensity $\omega_i(x)$ depends on the state $i$ of the Markov chain $J$ and the position of the process $X$. In the classical approach we set $\omega_i(x) = q$, for every $i \in E$, which can be understood as a killing by independent exponentially distributed random variable with the parameter $q$. Furthermore, all identities will be given in the terms of the $(\omega)$-scale matrices, which are extending general scale functions. Finally, we will apply derived results to the dividends problem as well as present numerical results for particular examples of $\omega_i (x)$.

Omówione będą na wstępie różne definicje ujemnie skorelowanych zmiennych losowych i ich relacje do ujemnego stowarzyszenia. Następnie wprowadzone będą dwie klasy procesów punktowych, które są w pewnym sensie ujemnie stowarzyszone (determinantal point processes - wyniki znane, mixed sampled point processes - wyniki własne). Wspomniane będą możliwe zastosowania własności ujemnego stowarzyszenia do badania procesów punktowych (clustering properties, void probabilities, concentration inequalities).

W pierwszej części wprowadzone zostaną trzy procesy subordynowane, mianowicie ułamkowy ruch Browna subordynowany procesami gamma, odwrotnym Gaussowskim oraz temperowanym stabilnym. Zaprezentowane zostaną główne własności wymienionych procesów, w szczególności struktura zależności, asympotytczne zachowanie momentów absolutnych oraz własność długiej pamięci. Następnie przedstawimy właności statystyczne ułamkowego ruchu Browna subordynowanego procesami odwrotnymi do wymienionych powyżej. Kolejnym krokiem jest zaproponowanie nowej techniki estymacji parametrów odwrotnego subordynatora opartej na zdyskretyzowanym rozkładzie. Za pomocą wysymulowanych danych pokazano skuteczność zaproponowanej techniki w porównaniu z innymi estymatorami. Finalnie, rozważyliśmy proces stochastyczny, który może zostać użyty do modelowania stężenia dwutlenku węgla będącego głównym czynnikiem wpływającym na jakość powietrza w pomieszczeniach.

W wystąpieniu przedstawione zostaną wyniki z rozprawy doktorskiej.

Dla rodziny wielowymiarowych uogólnień zagadnienia ruiny gracza pokażemy rozwiązanie oparte o dualność w sensie Siegmunda. W dowodzie skorzystamy z własności produktu Kroneckera.

B. Błaszczyszyn, P. Lorek, P. Markowski, Z. Puchała (2017) Absorption probability and time for family of multidimentional gambler models. Praca w przygotowaniu.

Dla mocno mieszających ciągów rzeczywistych zmiennych losowych przedstawimy dwa twierdzenia. Pierwsze twierdzenie jest dla liniowych (afinicznych) modyfikacji sum częściowych. W granicy otrzymamy tzw. klasy rozkładów samorozkładalnych (klasa Levy'ego L) wśród, których są rozkłady stabilne, rozkłady gamma, t-Studenta, F- Fishera, log-normalny, hiperboliczne funkcje charakterystyczne, etc. Drugie twierdzenie jest dla pewnych nieliniowych modyfikacji postaci $(X - r) ^+$. W terminologii matematyki finansowej jest funkcja wypłaty dla Europejskiej opcji kupna. Dla sum takich modyfikacji podamy centralne twierdzenie graniczne. [Wykład jest na podstawie wspólnych publikacji z Richardem Bradley'em i był pierwotnie wygłoszony w Operation Research and Financial Engineering (ORFE), Princeton University w kwietniu 2017.]

Rozpoczynając od klasycznych wzorów Tacacs'a dla procesów Levy'ego o skończonym wahaniu oraz łącznego rozkładu infimum i procesu w ostatnim punkcie przedziału dla ujemnie spektralnych procesów Levy'ego (o skończonym i nieskończonym wahaniu), wyprowadzimy wzór na rozkład supremum dla spektralnie dodatniego procesu Levy'ego na skończonym i nieskończonym horyzoncie czasowym. Jako przykład rozważymy alfa-stabilny proces Levy'ego. Ponadto znajdziemy rozkład supremum dla procesu Levy'ego ze złamanym dryfem. Jako przykład rozpatrzymy proces Wienera. Uzyskane wyniki zastosujemy to znalezienia prawdopodobieństwa ruiny, gdy dwie firmy ubezpieczeniowe dzielą między sobą roszczenia i składkę.

1) Z. Michna, Z. Palmowski, M. Pistorius (2015) The distribution of the supremum for spectrally asymmetric Levy processes. Electron. Commun. Probab. 20, str. 1-10.

2) K. Dębicki, E. Hashorva, Peng Liu, Z. Michna (2017) Distribution of the supremum for spectrally posititive Levy processes with a broken drift. Praca w przygotowaniu

W wystąpieniu przedstawione zostanie nowe podejście do badania zagadnień związanych z analizą czasu przebywania ponad barierą przez proces gaussowski. Wystąpienie oparte jest o wspólne badania z E. Hashorvą, Z. Michną, P. Liu.

In this talk, we will talk about a drawdown-based regime-switching (DBRS) Lévy insurance model in which the underlying drawdown process is used to model an insurer’s level of financial distress over time, and to trigger regime-switching transitions. By some analytical arguments, we derive explicit formulas for a generalized two-sided exit problem. We specifically state the positive security loading conditions. The regime-dependent occupation time until ruin is later studied. As a special case of the general DBRS model, a regime-switching premium model is given further consideration. Connections with other existing risk models are established.

We consider some drawdown insurance contracts with constant permium rate, general reward and penalty functions. The drawdown proces we define as difference between historical maximum and current asset value. We focus on two problem: calculating the fair premium for basic contracts and finding the optimal stopping rule for polices with additional cancellable feature. We use the fluctuation theory of Lévy processes and theory of optimal stopping.

I will recall classical mathematical problems related to queueing networks, some classical results related to ergodicity of some related Markov processes, and will discuss questions on the speed of convergence to stationarity and ordering of networks.

The talk will be based on some papers with Hans Daduna or Pawel Lorek, including recent ones but also some older ones, for example:

Correlation formulas for Markovian network processes in a random environment. Adv. in Appl. Probab. 48 (2016)

Computable bounds on the spectral gap for unreliable Jackson networks. Adv. in Appl. Probab. 47 (2015)

Stochastic comparison of queueing networks. Queueing networks, 345–395, Internat. Ser. Oper. Res. Management Sci., 154, Springer, New York, 2011

We will consider the theory of optimal change point detection of stochastic processes applied to the mortality rate models. At the beginning there will be some motivations and general description of the topic. Then we will proceed to the first detection model based on Brownian motion, for which at some random time drift changes. The first part of the talk will focus on this model and its applications in analysing Polish life tables. In the second part of the talk we will consider other detection models for Poisson and compound Poisson processes. We will also see some theoretical results for the process consisting of both continuous and jump part.

The talk is based on our joint work with Prof. Z. Palmowski.

A functional limit theorem for the empirical measure-valued process of eigenvalues of a matrix fractional Brownian motion is obtained. It is shown that the limiting measurevalued process is the non-commutative fractional Brownian motion recently introduced by Nourdin and Taqqu. Young and Skorohod stochastic integral techniques and fractional calculus are the main tools used. Also the case of a Non-commutative Fractional Poisson Process will be discussed, in terms of an approximation based on the fractional Wishart process.

(joint work with D. Yogeshwaran and J. E. Yukich)

Let $P$ be a simple, stationary, clustering point process on the $d$-dimensional Euclidean space, in the sense that its correlation functions factorize up to an additive error decaying exponentially fast with the separation distance. Let $P_n$ be its restriction to the windows of volume $n$. We consider statistics of $P_n$ admitting the representation as sums of spatially dependent terms $H_n=\sum_{x\in P_n} \xi(x,P_n)$, where $\xi(x,P_n)$ is a real valued (score) function, representing the interaction of $x$ with $P_n$. When the score function depends locally on $P_n$ in the sense that its radius of stabilization has an exponential tail, we establish expectation asymptotics, variance asymptotics, and central limit theorems for $H_n$ as the volume n of the window goes to infinity.

This gives the limit theory for non-linear geometric statistics (such as clique counts, the number of Morse critical points, intrinsic volumes of the Boolean model, and total edge length of the $k$-nearest neighbor graph) of determinantal point processes with fast decreasing kernels, including the $\alpha$-Ginibre ensembles. It also gives the limit theory for geometric $U$-statistics of permanental point processes as well as the zero set of Gaussian entire functions. This extends the existing literature treating the limit theory of sums of stabilizing scores of Poisson and binomial input. In the setting of clustering point processes, it also extends the results of Soshnikov (2002) as well as work of Nazarov and Sodin (2012).

The proof of the central limit theorem relies on a factorial moment expansion originating in Blaszczyszyn (1995) to show clustering of mixed moments of the score function. Clustering extends the cumulant method to the setting of purely atomic random measures, yielding the asymptotic normality of $H_n$.

Badając prędkość zbieżność rozkładu procesu Markowa do rozkładu stacjonarnego możemy korzystać z metody couplingowej. Okazuje się, że znalezienie markowskiego couplingu (tzn. pary funkcji losowych (X,Y) będącej procesem Markowa) nie zawsze prowadzi do optymalnego oszacowania szybkości zbieżności. Prelegent przypomni kilka znanych i zaprezentuje kilka nowych konstrukcji couplingowych.

Niech $\boldsymbol{B}(t)=(B_1(t),\ldots,B_d(t))^{'},t\ge0$ będzie standardowym $d$-wymiarowym ruchem Browna. W prezentacji zanalizujemy dokładną asymptotykę $$ \mathbb{P}\left(\exists\ {t\ge 0}: \boldsymbol{AX}(t)- \boldsymbol{\mu}t> \boldsymbol{\alpha} u \right), $$ gdy $u\to\infty$, gdzie $A$ jest macierzą niesingularną oraz wektory $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\mu}$ spełniają $\boldsymbol{\alpha}>\boldsymbol{0},$ $\boldsymbol{\mu}$, $\max_{1\le i \le d} \mu_i>0$. Dodatkowo zbadamy własności wielowymiarowych odpowiedników stałych Pickands'a, które pojawiają się w uzyskanych asymptotykach.

Wykład oparty jest o wyniki wypracowane wspólnie z E. Hashorwą (Univ. of Lausanne), L. Ji (Univ. of Lausanne) oraz T. Rolskim.

W referacie rozwiażemy tzw. problemy wyjścia dla (odbitego w supremum lub infimum) spektralnie ujemnego procesu Lévy'ego $X$ wykładniczo zabijanego z intensywnością będącą pewną funkcją $\omega$ od obecnego stanu tego procesu. Wszystkie tożsamości będą wyrażone poprzez uogólnienia klasycznych funkcji skalujących.

Referat będzie oparty o pracę: B. Li i Z. Palmowski, Fluctuations of Omega-killed spectrally negative Lévy processes, 2016. Złożony do publikacji. http://arxiv.org/abs/1603.07967.

Rozważać będziemy proces $X_t$ ulegający zmianie w losowej, nieobserwowalnej chwili $\theta$ o zadanym z góry rozkładzie. To znaczy proces $X_t$ definiujemy w następujący sposób: $X_t = X_t^{(1)}$ dla $t<\theta$ oraz $X_t = X_t^{(2)}$ dla $t>\theta$, gdzie oba procesy $X_t^{(i)}$ ($i=1,2$) są zadanymi procesami Lévy'ego związanymi wykładniczą zamianą miary. Problem wykrywania punktu zmiany procesu rozpatrzymy pod kątem znalezienia optymalnego czasu zatrzymania $\tau$ minimalizującego kryterium postaci: $\inf\{P(\tau<\theta) + cE[(\tau-\theta)^+]\}$. Kluczową rolę dla rozwiązania problemu będzie miał proces $\pi_t$ oparty o prawdopodobieństwo a posteriori względem naturalnej filtracji generowanej przez $X_t$. Znajdziemy generator Markowskiego procesu $\pi_t$ oraz przy jego użyciu sprowadzimy problem optymalnej detekcji do rozwiązania pewnego problemu wariacyjnego równoważnego identyfikacji największego submartyngału spełniającego pewne warunki brzegowe. Powyższa analiza zostanie poparta przykładami związanymi z ruchem Browna i procesem Poissona.