Analiza harmoniczna

We consider real-valued branching random walks with stretched exponential tails and prove a large deviation result for the position of the rightmost particle. The talk is based on a joint work with Nina Gantert and Thomas Höfelsauer.

A random walk in a sparse random environment is a model introduced by Matzavinos et al. [Electron. J. Probab. 21, paper no. 72: 2016] as a generalization of both a simple symmetric random walk and a classical random walk in a random environment. Using the branching process with immigration associated with this random walk we will obtain stable limit laws.

Załóżmy, że prędkość $v$ i wirowość $\omega$ są związane wzorem Biota-Savarta:

$$v(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{{\mathbb R}^2} \frac{(x-y)^\perp}{|x-y|^2}d\omega(y).$$

Przy pewnych ogólnych założeniach na miarę $\omega$ pokażemy, że energia kinetyczna związana 

z $v$ może być wyrażona za pomocą momentów miary $\omega$ w prosty sposób.

Na koniec, jako zastosowanie powyższych wyników pokażemy, że używając powyższego przedstawienia możemy badać energię kinetyczną związaną z wirowością $\omega$ o nośniku na spirali Kadena (która ma związek z równaniem Birkhoff'a-Rott'a).​

We will consider a version of Galton-Watson process called the branching process in random environment, describing a population growth where the individuals reproduce independently of each other with the reproduction law randomly picked at each generation. We will focus on large deviations for the process in question. If time allows we will investigate the corresponding first passage time.  The talk is based on a joint work with Dariusz Buraczewski available at https://arxiv.org/abs/1706.03874

Let (X,d) be a locally compact separable ultrametric space.
Given a measure m and a symmetric measurable function J(x,y) we consider
the linear operator L^{J}f(x)=∫(f(x)-f(y))J(x,y)dm(y) defined on the set D
of all locally constant functions f having compact support. According to
, when J(x,y) is an isotropic function
satisfying certain conditions, the operator (-L^{J},D) is essentially
self-adjoint and extends in L²(X,m) as a self-adjoint Markov generator,
its Markov semigroup exp(-tL^{J}) admits a continuous transition density
(heat kernel) p^{J}(t,x,y) w.r.t. m. When J(x,y) is not isotropic but
uniformly in x,y comparable to the isotropic function J(x,y) as above the
operator (-L^{J},D) extends in L²(X,m) as a self-adjoint Markov generator,
the Markov semigroup exp(-tL^{J}) admits a continuous heat kernel
p^{J}(t,x,y) w.r.t. m, and the function p^{J}(t,x,y) is uniformly
comparable in t,x,y to the function p^{J}(t,x,y), the heat kernel of the
Markov semigroup exp(-tL^{J}). We illustrate our exposition by a number of
examples.

https://arxiv.org/abs/1609.06875

Będziemy kontynuować czytanie pracy:

Mod-phi convergence I: Normality zones and precise deviations
Valentin Féray, Pierre-Loïc Méliot, Ashkan Nikeghbali
https://arxiv.org/pdf/1304.2934.pdf

W powyższej pracy jest opisana metoda (oczywiście bazująca na transformacie Fouriera), która w ostatnich latach była używana do dowodzenia różnego typu twierdzeń granicznych. Pojawi się więc sporo  przykładów: liczba cykli losowej permutacji, liczba dzielników pierwszych losowej liczby, zera losowych funkcji analitycznych, struktura drzew losowych, gałązkowy spacer losowy, ...

Będziemy czytać pracę:

Mod-phi convergence I: Normality zones and precise deviations
Valentin Féray, Pierre-Loïc Méliot, Ashkan Nikeghbali
https://arxiv.org/pdf/1304.2934.pdf

W powyższej pracy jest opisana metoda (oczywiście bazująca na transformacie Fouriera), która w ostatnich latach była używana do dowodzenia różnego typu twierdzeń granicznych. Pojawi się więc sporo  przykładów: liczba cykli losowej permutacji, liczba dzielników pierwszych losowej liczby, zera losowych funkcji analitycznych, struktura drzew losowych, gałązkowy spacer losowy, ...

W kolejnych dwóch tygodniach mówcami będą: Piotr Dyszewski i Mariusz Maślanka

We will consider the solution to the distributional equation X =^d AX+B in the case when A and B possess regularly varying tails. In particular we will treat the situation when the tails of A and B are comparable.

Joint work with Peng Chen and  Waldemar Hebisch

Abstract: We investigate spectral multipliers, Bochner-Riesz means and the convergence of eigenfunction expansion  corresponding to the Schr\"odinger operator with anharmonic potential
L = - \frac{d^2}{dx^2}+|x|. We show that the Bochner-Riesz profile of the operator L completely coincides with such profile of the harmonic oscillator H=-\frac{d^2}{dx^2}+x^2. It is especially surprising because the Bochner-Riesz profile of the one-dimensional standard Laplace operator  is known to be essentially different and the case of operators H and L resembles more the profile of multidimensional Laplace operators. Another surprising element of the main obtained result is the fact that the proof is not based on restriction type estimates and instead an entirely new perspective has to be developed to obtain the critical exponent for Bochner-Riesz means convergence.

Przedstawię pewną klasyfikację ośrodkowych przestrzeni Banacha, uwzględniającą strukturę słabo zwartych podzbiorów kuli jednostkowej. Klasyfikacja ta wywodzi się z analizy własności przestrzeni takich jak L_1[0,1], które są (w pewnym sensie) mocno generowane przez swój słabo zwarty podzbiór.